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By Jean Louis Ovaert, Lucien Chambadal

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Example text

Il est connu qu'il existe deux sous-groupes N~ (e) N~ (produit semi-direct) e correspondant à N-(e» son conju- tels que est le sous-groupe parabolique et que si + , on a Be = Ne Ae He . Nous utiliserons les trois décomposi- tions de Bruhat suivantes, vraies sauf sur des ensembles de mesures nulles : G Be Ne G B N G(e) où A et P A (8) p = = + Ne Ae Me Ne + N A MN P B(e) N-(e) = N+(e) A (e) M(e) N (e) p sont les sous-groupes analytiques d'algèbre de Lie a (e) respectivement, B -p et G(e) respectivement.

Peut être nul sur t -} c" a ) . Alors -p (~ des éléments de (~ donc aucun élément de A. ~ ne • D'où: -i Corollaire A. ~ cL. l'I ~ h~. -+ ai E A. Alors il y a un Soit a ~ i a i . D'où k En particulier pour i ~ H' H' . i) ii) H i ~ H ~ Pour tous et H' . H' ~ ~ ~ i et k } ~ pour i ~ k ~ r i ~ k "" r , les i ~ ont la même longueur 60 L i" k~ r lR H exk et a -p Pour montrer le ii) il suffit d'utiliser le résultat de Moore [10] affirmant que tous les 1 ~ k ~ r ~k Pour ~ i ~ , r ont la même longueur.

Il). Si M n'est pas abélien (cas SU(p,q) , q f p) , il est nécessaire d'utili- ser (3) . L'exposé se termine sur un rapprochement entre la série complémentaire obtenue plus haut, et celle que Lipsman tire des résultats obtenus par Kostant. Nous montrons que certaines des représentations construites par Lipsman sont du type de celles obtenues plus haut au 3), à condition toutefois de se limiter dans notre construction aux séries complémentaires de H. 1 qui sont triviales sur et sur M(8 ) , c'est-à-dire sur M (cf.

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