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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui think connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce website divers records pertinents au cours.

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Exemple. Il existe un point x0 de la sph`ere x = 1 o` u une transformation lin´eaire L : Rn → Rm atteint sa norme : L ∞ = L(x0 ) . 3 Transformations diff´ erentiables Soient E ⊆ Rn un ensemble ouvert, x0 ∈ E un de ses points et f : E → une fonction d´efinie sur E. La fonction f est d´ erivable (diff´erentiable) n en x0 s’il existe une transformation lin´eaire L : R → Rm telle que Rm lim x→x0 f (x) − f (x0 ) − L(x − x0 )) =0 x − x0 autrement dit si, dans un voisinage de x0 , on a f (x) = f (x0 ) + L(x − x0 ) + r(x) avec lim x→x0 r(x) = 0.

Th´ eor` eme 15 Soient f ∈ C (2) (E) et x0 ∈ E un point critique de f . – Si pour tout u = 0, uT H(x0 )u < 0, f admet un maximum relatif en x0 . 43 – Si pour tout u = 0, uT H(x0 )u > 0, f admet un minimum relatif en x0 . D´emonstration. Consid´erons par exemple le cas d’un maximum. Il existe un nombre δ1 > 0 tel que pour x − x0 < δ1 , f (x) = f (x0 ) + 1 (x − x0 )T H(y)(x − x0 ) 2 o` u y ∈ [x0 , x] de sorte que sgn (f (x) − f (x0 )) = sgn (x − x0 )T H(y)(x − x0 ) . D’autre part, (x − x0 )T H(y)(x − x0 ) − (x − x0 )T H(x0 )(x − x0 ) = (x − x0 )T (H(y) − H(x0 ))(x − x0 ) ≤ H(y) − H(x0 ) x − x0 2 .

Donn´e > 0, soit δg > 0 tel que g(y) − g(y0 ) < 1 + f (x0 ) y − y0 ∞ d`es que y − y0 < δg . Soit aussi δ1 > 0 tel que f (x) − y0 − f (x0 )(x − x0 ) < x − x0 d`es que x − x0 < δ1 . En particulier, on a alors f (x) − y0 < (1 + f (x0 ) Donc x − x0 < inf{δ1 , ∞) x − x0 . δg 1 + f (x0 ) } ∞ implique g(f (x)) − g(y0 ) < 59 x − x0 ce qui montre que (g ◦ f ) (x0 ) = 0. Cas o` u g (y0 ) = 0. On a g(f (x)) − g(y0 ) − g (y0 )(f (x0 )(x − x0 )) ≤ g(f (x)) − g(y0 ) − g (y0 )(f (x) − y0 ) + g (y0 ) ∞ f (x) − y0 − f (x0 )(x − x0 ) .

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