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By Theodor Bröcker

Broecker T. research three (Spektrum, 1992)(de)(ISBN 3860254103)(1s)_MCet_

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Ist Φ : D → EndC (C n ) eine L¨osungsmatrix der homogenen Gleichung auf U = C n , so ist det Φ = 0 genau dann, wenn det Φ(τ ) = 0 f¨ ur ein τ ∈ D . Mit det Φ ist hier eigentlich die Funktion det ◦Φ : t → det(Φ(t)) gemeint. Wir werden aber auch k¨ unftig daf¨ ur meist det Φ schreiben, weil es in Rechnungen bequemer ist. 1), wenn man nur eine “spezielle” L¨osung findet; alle anderen entstehen daraus durch Addition von L¨osungen der homogenen Gleichung. Wie findet man diese spezielle L¨osung? Nat¨ urlich durch Transformieren, mit der Transformation, welche die L¨osungen der homogenen Gleichung in konstante Funktionen u ¨berf¨ uhrt.

1 λ dargestellt. Nun also wieder zur linearen Differentialgleichung x˙ = A · x zun¨ achst u ¨ber C . Der Fluß zerf¨allt wie der Raum U , und man muß nur die Abbildungen eAj t : Uj → Uj , Aj := A|Uj : Uj → Uj , berechnen. 6) At e =e λt ·e Nt , e Nt us = s−1 tν ν=0 ν! us−ν , 50 II. 7) eN t =      folgende Gestalt hat  · · · t −1 /( − 1)!   ··· .   ···   ..  2 . t /2   t 1 (Nullen unter der Diagonale) Die einfachste Darstellung findet man, wenn keine nilpotenten Anteile auftreten.

Nat¨ urlich durch Transformieren, mit der Transformation, welche die L¨osungen der homogenen Gleichung in konstante Funktionen u ¨berf¨ uhrt. Mit anderen Worten, man schreibt die gesuchte L¨osungskurve an jeder Stelle t nicht in ihren Komponenten als Linearkombination der Standardbasis von C n , sondern vielmehr als Linearkombination der Spalten ϕj der Fundamentalmatrix Φ des zugeh¨origen homogenen Systems. 3) Variation der Konstanten. Sei Φ eine Fundamentalmatrix der homogenen Gleichung x˙ = Ax.

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